Lineární filtr

Lineární filtr je filtr, pro nějž platí princip superpozice.

To znamená, že za předpokladu

$x_{1}(t)\rightarrow y_{1}(t),~~x_{2}(t)\rightarrow y_{2}(t)$

platí:

$ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\rightarrow ay_{1}(t)+by_{2}(t)$

Jinak řečeno, odezva lineárního systému tvořeného tímto filtrem na součet dvou či více signálů musí být rovna součtu odezev tohoto systému na jednotlivé signály. Účelem takovéto lineární filtrace je obvykle potlačení nebo zvýraznění určitých spektrálních složek signálu, případně změna jejich fázového posunutí (ať již se jedná o signál spojitý nebo diskrétní).

Popis lineárního filtru

Lineární filtr lze popsat diferenční rovnicí, impulzní charakteristikou nebo frekvenční charakteristikou. Diferenční rovnice představuje postup (algoritmus) výpočtu odezvy filtru. Odezvou lineárního filtru na jednotkový impulz je jeho impulzní charakteristika $h(t)$. Odezvu nerekurzivního lineárního filtru $y(t)$ pro libovolný vstup $x(t)$ je možno spočítat konvolucí vstupního signálu s impulzní charakteristikou tohoto filtru:

$y(t)=x(t)*h(t)\,$ ${}\quad =\int _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\operatorname {d} \tau$ ${}\quad =\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\operatorname {d} \tau$

Spektrem impulzní charakteristiky $h(t)$ je frekvenční charakteristika $H(j\omega )$, kterou z něj lze získat Fourierovou transformací.

Zejména pro popis diskrétních filtrů se využívá také přenosová funkce, kterou lze získat pomocí z-transformace a následného podílu jejich výstupu ke vstupu.

$H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {{\mathcal {Z}}\left\{y(t)\right\}}{{\mathcal {Z}}\left\{x(t)\right\}}}$

Dalším způsobem popisu tohoto filtru je rozložení jeho nulových bodů a pólů v z-rovině. Polohu těchto bodů lze získat přepisem polynomů přenosové funkce na součiny jejich kořenových činitelů. Z této formy popisu lze lehce posuzovat stabilitu filtru.

Odkazy

Související články

• lineární filtry podle účelu
  • dolní propust
  • horní propust
  • pásmová propust
  • pásmová zádrž
  • all-pass filtr
• podle odezvy
  • filtr s konečnou impulzní odezvou (FIR)
  • filtr s nekonečnou impulzní odezvou (IIR)
• podle realizace (formy diferenční rovnice)
  • rekurzivní filtr
  • nerekurzivní filtr
• podle popisu
  • diferenční rovnice
  • impulzní charakteristika
  • frekvenční charakteristika
  • přenosová funkce
  • nulové body a póly
• pomocné operace
  • z-transformace (pouze pro diskrétní systémy)
  • Fourierova transformace (integrální nebo s diskrétním časem)
  • konvoluce

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Lineární filtr na Wikimedia Commons

Literatura

• JAN, Jiří. Číslicová filtrace, analýza a restaurace signálů. 2., upravené a rozšířené vyd. Brno: VUTIUM, 2002. ISBN 80-214-1558-4.